2.3.2双曲线的简单几何性质（5） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2. 2 双曲线的简单几何性质 （5） 第5课时 温故知新 （1）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与双曲线C相交，且只有一个交点，此时， 直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ； (2)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C ． 例1. 解1： x y o . . N M (1)设直线AB： ，则 由 得 此时， 故直线AB： 探究1：中点弦问题 解2： x y o . . N M (1) 解3： x y o . . N M ∵ A、B 在双曲线上， ∴ ① ② 由 ① - ② 得： 故所求直线AB方程： x y o . . N M 探究2： 直线与双曲线相交中的垂直与对称问题 例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于 对称，若存在，求a;若不存在，说明理由. 综合探究 (1)解：将y=ax+1代入3x2-y2=1 又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0, ∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上， ∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0, 解得a=±1. (1)求双曲线C的标准方程； 备选例题 (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围. a2＋b2＝c2， 由①②③可得a2＝5，b2＝4， ① ② ③ 解（2）由题意知直线l不过点A. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD 整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0， (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围. 由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)， 化简得10k2＝8－9m， 小结反思 升华素养 课后作业 作业本上完成---- （1）《导学》 P112例4变式训练; （2）用“设而不求韦达法”重解:《导学》P113T2，T3注意:别忘了昨天作业本上错题的修正. 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与双曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入双曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0. 平行 相离 （3）注意．直线与双曲线相交的判断及应用 直线与双曲线位置关系 与右支交于两个不同点 与左支交于两个不同点 与左、右两支各有一个交点 满足条件 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1＋x2＞0，,x1x2＞0)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1＋x2＜0，,x1x2＞0)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1x2＜0)) 相交 相切 2．弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2| ＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2). 例2：已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值． 解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点， 则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,y＝kx－1))有两个不同的实数根， 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 　直线与双曲线的位置关系应用 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2＞0，))解得－eq \r