2.3.2双曲线的简单几何性质（3） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2. 2 双曲线的简单几何性质 （3） 【温故知新】 它的离心率为： 例1：某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为 20m ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为60m，选择适当的平面直角坐标系. (1)求此双曲线 的方程； (2)定义：以（1）中求出的双曲线 的实轴为虚轴，以 的虚轴为实轴的双曲线 叫做 的共轭双曲线，求双曲线 的方程； (3)对于（2）中的双曲线 ､ ､的离心率分别为 ､ ，写出 与 满足的一个关系式，并证明. 探究应用1：利用简单几何性质求标准方程 例2. 解： 设 d 是点M到直线 l 的距离. 则由题意得： x y M l d F O 深度学习 根据双曲线的对称性， 双曲线的第一定义： 双曲线的第二定义： 探究离心率的取问题 探究　求双曲线的离心率范围问题 练习：已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为（ ） √ 因为MF2∥OP，O为F1F2的中点， 所以P为MF1的中点， 角度(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围) 角度(二)：求渐近线时，利用 的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系： 角度(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合 列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程 F1 F2 F1 F2 焦半径公式： 同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式： F1 F2 x y 课后作业 2. 《导学》3.2.2（二） 1. 教材127页 习题3.2 第9,10，11，12题 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 a2＋b2 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 离心率 e＝eq \f(c,a)，e∈ a，b，c的关系 c2＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝eq \a\vs4\al(2a)； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝eq \a\vs4\al(2b)； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 坐标轴 原点 (1，＋∞) 例3．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________． 解析：由题设条件得|PF1|＋|PF2|＝3b，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，两个式子平方相减得|PF1|·|PF2|＝eq \f(9b2－4a2,4)，则eq \f(9b2－4a2,4)＝eq \f(9,4)ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0， 即eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，所以e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq \f(5,3). 答案：eq \f(5,3) 变式：已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝eq \f(|ba－a×0|,\r(b