2.3.2双曲线的简单几何性质（2） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2. 2 双曲线的简单几何性质 （2） 双曲线渐近线问题 【温故知新】 它的离心率为： 【温故知新】 (2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用. (1)得到双曲线的标准方程需要三个条件：a,b及焦点位置； 【注意】 的渐近线为 即 新知探究： 渐近线为 的双曲线标准方程一定是 ？ 即 【思考】 例1 求与双曲线 共渐近线且过点 的双曲线方程及离心率． 解： 设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 ∵ 点 在双曲线上， 故所求双曲线方程为： 即 ∴ 离心率 变式2 即 解：法一： 解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 有相同的焦点坐标． 注：设法技巧：椭圆 与双曲线 变式2 (2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用. (1)得到双曲线的标准方程需要三个条件：a,b及焦点位置； 【注意】 的渐近线是 即 渐近线为 的双曲线标准方程不一定是 即 反过来 【注意】 【拓展探究：双曲线渐近线的性质】 结论：双曲线的一个焦点到作任一条渐近线的距离等于虚半轴长. 试试：(2018课标全国ⅠT11)已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= (　　) A. 　    B.3　    C.2 　    D.4 　析：由双曲线C可知其渐近线方程为y=± x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2, ∴|OM|= ,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.   答案    B 【拓展探究2】 引申探究2 ：求一个焦点垂直一条渐近线的垂足 结论：一个焦点垂直一条渐近线的垂足P在其对应的准线上 引申探究3 ：体现双曲线渐近线与离心率的关系 例5.(2018课标全国Ⅲ,T11)设F1,F2是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|= |OP|,则C的离心率为(　　) A. 　    B.2 C. 　    D.  小结知识归纳：回忆(默写)： 1.双曲线的四大几何量a, b, c, e间的三个关系式; 2.焦点在x轴的双曲线的渐近线方程 . 焦点在y轴的双曲线的渐近线方程 . 3.与双曲线 共渐近线的双曲线可设 为 . 4.与直线 为渐近线的双曲线可设为 . 18 【解】如图所示： 设双曲线的一条渐近线方程为 ，因为焦点 到渐近线的距离为 ， 课后作业 2. 教材P127习题3.2 T4（3），T6 3.补充练习： 1. 教材124页 练习T3，T4 1：焦点在坐标轴上的双曲线,其渐近线方程为 ,焦点到渐近线的距离等于3,则此双曲线的方程为_________ 1：焦点在坐标轴上的双曲线,其渐近线方程为 ,焦点到渐近线的距离等于3,则此双曲线的方程为_________ 补充练习 解： (1)由 得 ∴ P点必在右支上. 又 x y o P F1 F2 A （2）由 ， 所求双曲线即为 渐近线方程为 设 又点P在双曲线上， ∴所求双曲线方程为 x y o P F1 F2 A 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 原点 (1，＋∞) a2＋b2 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x