2.3.2双曲线的简单几何性质（1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2 双曲线的简单几何性质（1） 向学好善、思进有为 2 2 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 双曲线是否具有类似的性质呢? 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴， 原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 学习新知 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a (2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b, b叫做双曲线的虚半轴长 (4)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 (3) B1(0,－b),B2 (0,b)叫做双曲线的虚轴端点 新知探究 M(x,y) 4、渐近线 N(x,y’) Q 慢慢靠近 x y o a b 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 双曲线的简单几何性质: 新知探究 双曲线的简单几何性质 (1)概念:焦距与实轴长之比 5.离心率 (2)定义式: e=－ c a (3)范围: e>1 (c>a>0) (4)双曲线的形状与e的关系 即:e越大,渐近线 斜率的绝对值越大,其开口越阔. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 思考：等轴双曲线的离心率e= ? 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度 ，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 5、离心率 （5）等轴双曲线的离心率e= ? 自主探究焦点在y轴上的双曲线的几何性质 探究焦点在轴上的双曲线的简单几何性质 双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、范围： 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称. 3、顶点： A1 （0，-a ），A2（0， a ） 实轴长|A1A2|=2a ，虚轴 |B1B2|=2b . 4、渐近线方程： 5、离心率： 线段A1A2叫实轴 . 线段B1B2叫虚轴 . 即 x y B1 A2 A1 B2 O F1 F2 等轴双曲线的离心率e= 探究双曲线的离心率与其渐近线斜率的关系 二、应用探究: 例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O 例2.求符合下列条件的双曲线的标准方程： 解： 故所求标准方程为： 应用探究：利用简单几何性质求双曲线的标准方程 解： （2）由椭圆 的焦点 得到双曲线的顶点 知双曲线的焦点在x轴上， 且焦点为 故所求标准方程为： （3）一个焦点是F1(－6，0)的等轴双曲线. 解： 设双曲线为 则由 得 故所求标准方程为： (2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用. (1)得到双曲线的标准方程需要三个条件：a,b及焦点位置； 【拓展探究】 的渐近线为 即 思考： 渐近线为 的双曲线标准方程一定是 ？ 【注意】 课后作业 2. 《校本学材》2.3.2（一） 1. 教材习题 2.3A组3、4 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养. 反过来也成立. （6）在 四个参数中,知二求二. 6．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？ [探究]　e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up24(2)) 当焦点在x轴上时，渐近线斜率为k，则e＝eq \r(1＋k2)， 当焦点在y轴上时，渐近线斜率为k，则e＝eq \r(1＋\f(1,k2)). 试一试：已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________． 当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝2，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋22)＝eq \r(5). 当焦点在y轴上时，eq \f(a,b)＝2，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)， 这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up24(2))＝eq \f(\r(5),2) 答案