圆锥曲线中定点与定值 专题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线中定点与定值专题 · 方法点拨 1. 通法：设而不求，韦达定理 2. 步骤：①设：设两交点坐标A(),B()，设直线方程； 若直线过点(0,m),通常设为y=kx+m.(需另外讨论斜率不存在的情况) 直线过点(n,0),通常设为x=ty+n(斜率为0时，即t=0的情况) ②化：将斜率或向量的运算坐标化，出现、与或； ③联：联立直线方程和曲线方法，得到关于x或y的方程； ④达：运用韦达定理； ⑤析：具体问题，个体分析. 3.优点：方程常规，程序性强；缺点：运算量较大. 1． 直线过定点问题 常见四种模型，出现就说明直线过定点 (1) 为定值 (3)为定值(不为0) (3) 为定值(不为0) (4) 例1 A、B是抛物线上的两点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：直线AB经过一个定点. 例2 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△AF1F2的面积为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 例3 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线上一点P的横坐标为1，且到焦点F的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)设A、B是抛物丝上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为ɑ和β，当ɑ、β变化且ɑ+β为定值()时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标. 例4 已知F()为抛物线的焦点，点为其上的一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M、N的A、B两点，且NF=， (1) 求抛物线的方程和N点坐标； (2) 判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出l′的方程和MAB面积的最小值；若不存在，说明理由. 2． 斜率为定值 直线AB斜率为定值问题 例5 如图，过抛物线上一定点P(1,2),作两条直线分别交抛物线于A、B， 当PA与PB斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值. 例6 已知椭圆C过点A(),两个焦点为(-1,0),(1,0) (1)求椭圆的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值. · 练习 1.已知圆M：和点N(0,1),动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1、k2满足k1k2=4,求△ABC面积的最大值. 参考答案 例1：设AB：x=ty+m，A(),B()，与抛物线联立得得同时 ，由OA⊥OB得即有得m=4或m=0(舍去),AB方程为x=ty+4，故AB经过定点(4,0) 例2(1)由已知得，,,得a2=4,c2=5,故双曲线标准方程为 (2)设E(),F()，联立y=kx+m和得得得 以EF为直径的圆过右顶点D(2,0),所在DE⊥DF，由此可得，代入得即得代入直线方程得故直线过定点(2,0)(舍去)或(,0)，故直线EF为定点(,0) 例3：(1)PF=得p=2，故抛物线方程为 (2)设直线AB的方程为x=ty+m，A(),B()与抛物线联立得得，OA、OB倾斜角的正切值，，而即有，同时代入整理得得代入直线方法x=ty-2t-4=t(y-2)-4,过定点(-4,2) 例4：(1)由已知得p=1，抛物线方程为，NF==得x0=2得N(2,2) (2)设直线AB的方程为x=ty+m，A(),B()与抛物线联立得得，,代入整理得m=2t+3，代入直线方程得x=ty+2t+3=t(y+2)+3,直线AB过定点(3,-2),而M(2,-2),ME||x轴ME=1，，当t=-2时，MAB面积取最小值此时直线方程为x=-2y-1 例5：设AB：x=ty+m，A(),B()，与抛物线联立得得 ，PA、PB倾斜角互补，故即有，得得t=-1，故直线AB的斜率为-1 例6：(1)AF1+AF2=4=2a得a=2,c=1,b=,故椭圆方程为 (3) 设直线AE的解析式为y=k(x-1)+,，与椭圆联立得, ，同理得，由此可得 练习(1)PM+PN=2>MN，点P的轨迹为椭圆，方程为 (2) 设BC解析式为x=ty+m，C(),C()与椭圆联立得，，A(1,0),整理得m=3 直线BC过定点(3,0),= 当且仅当时取等号，△ABC面积的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$