第五章 章末总结　(五)三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(五)三角函数　　　　　► 对应学生用书P148 考点一　三角函数式的化简、求值 1．(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α； (2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限； (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式． 2．化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号． 3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例1.(1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：选C.由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos αsin α)sin β， 即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即：sin (α－β)＋cos (α－β)＝0， 所以tan (α－β)＝－1. (2)(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． 解析：α＋β＝，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝，即(12sin α－cos α)＝，令sin θ＝，cos θ＝，则sin (α－θ)＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ， ∴sin α＝sin ＝cos θ＝， 则cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝. 答案：　 【练一练】 1．已知sinsin ＝，α∈，则的值为________． 解析：∵sinsin ＝， ∴sin ·cos ＝， sin ＝，即cos 2α＝. 又α∈，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－＝－＝－， ∴＝ ＝＝－. 答案：－ 考点二　三角函数的图象与性质 1．三角函数的周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 5．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 例2.(1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析：选A.由函数的最小正周期T满足<T<π，得<<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点对称，所以 ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－＋k，k∈Z，所以ω＝，f(x)＝sin ＋2， 所以f＝sin ＋2＝1. (2)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：选C.因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x. 对于A，当－<x<－时，－π<2x<－，则f(x)在上单调递增，A错； 对于B，当－<x<时，－<2x<，则f(x)在上不单调，B错； 对于C，当0<x<时，0<2x<，则f(x)在上单调递减，C对； 对于D，当<x<时，<2x<，则f(x)在上不单调，D错． 【练一练】 2．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3 x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移