第五章 5．7　三角函数的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．7　三角函数的应用　　　　　► 对应学生用书P145 [课程标准]　1. 会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、三角函数在解决简单的实际问题 1．在物理学中，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x∈[0，＋∞))描述简谐运动的物理量． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 二、构造三角函数模型 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 【基点小试】 1．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　) A．y＝v0t B．y＝v0t sin θ C．y＝v0t sin θ－gt2 D．y＝v0tcos θ 解析：选C.由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0t sin θ－gt2，故选C. 2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________． 解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110， ∴T＝＝＝，f＝＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为80. 答案：80 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______s往返一次． 解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案：0.8 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　三角函数在物理学中的应用 例1.已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，即sin (150π·＋φ)＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin . (2)依题意，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. [总结] 　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数. 【练一练】 1．已知简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 解析：选A.T＝＝＝6， ∵图象过(0，1)点，∴sin φ＝. ∵－＜φ＜，∴φ＝. 题型二　三角函数模型在实际生活中的应用 例2.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24). (2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cos t＋1＞1，cos t＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋， 即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z).又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，∴在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午9：00至下午3：00. [母题探究]　若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解：由y＝cos t＋1＞1.25