第五章 5．5．1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．5　三角恒等变换　　　　　► 对应学生用书P129 [课程标准]　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换．　4.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 两角差的余弦公式 cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β都是任意角 记一记：公式巧记为：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式． 【基点小试】 1．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选B.cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝. 2.(cos 75°＋sin 75°)＝________． 解析：原式＝cos 45°cos 75°＋sin 45°sin 75°＝cos (75°－45°)＝cos 30°＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　给角求值问题 【练一练】 1．cos (－15°)的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析：选C.cos (－15°)＝cos 15°＝cos (60°－45°) ＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C. 2．(2023·枣庄高一检测)化简cos θcos (π＋θ)＋sin θsin (π＋θ)的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．cos θ 解析：选B.cos θcos (π＋θ)＋sin θsin (π＋θ)＝cos [θ－(π＋θ)]＝cos (－π)＝cos π＝－1. 3．计算：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝________________________________. 解析：原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos (83°－23°)＝cos 60°＝. 答案： 【悟一悟】 利用公式C(α－β)求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 题型二　给值求值问题 例1.已知α，β为锐角，且cos α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值． [思路点拨]　(1)β＝(α＋β)－α； (2)在求sin (α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取． 解：∵0<α，β<，∴0<α＋β<π. 由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝＝2＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝. [母题探究]　　(变条件)本例条件变为“α、β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (α＋2β)＝”，问题不变． 解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π，0<α＋2β<. 又因为cos (α＋β)＝>0， 所以0<α＋β<， 又因为cos (α＋2β)＝，所以0<α＋2β<，所以sin (α＋β)＝，sin (α＋2β)＝， 所以cos β＝cos [(α＋2β)－(α＋β)]＝cos (α＋2β)·cos (α＋β)＋sin (α＋2β)·sin (α＋β)＝×＋×＝. [总结] 　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). 【练一练】 1．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α－β)的值． 解：∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－. 又β∈，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－. ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝(－)×＋×(－)＝. 题型三　给值求角问题 例2.已知cos α