第五章 5．4．3　正切函数的性质与图象-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．4.3　正切函数的性质与图象　　　► 对应学生用书P126 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 正切函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间(k∈Z)内单调递增 对称性 对称中心(，0) 记一记：正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)上是单调递增的．不能说函数在其定义域内是增函数． 【基点小试】 1．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　) 解析：选A.当x＝时，y＝0，排除CD；当x＝0时，y＝tan ＝－，排除B，故选A. 2．函数y＝tan 的单调增区间是________________________． 解析：因为函数y＝tan x在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增， 所以令－＋kπ＜x－＜＋kπ(k∈Z)， 解得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z). 答案：(k∈Z) 3．求函数y＝tan 的定义域为____________． 解析：由3x－≠＋kπ(k∈Z)得x≠＋(k∈Z)，故所求函数的定义域为{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}． 答案：{x|x∈R且x≠＋(k∈Z)} 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　正切函数的周期性、奇偶性 【练一练】 1．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选A.法一　函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 法二　由诱导公式可得tan ＝tan ＝tan ，所以f＝f(x)，所以周期T＝. 2．函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.因为函数f(x)的定义域为{x|x≠，k∈Z}，关于原点对称，且f(x)＝＝， 所以f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期为____________． 解析：作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π. 答案：π 【悟一悟】 正切型函数的周期性、奇偶性的解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 题型二　正切函数的定义域、值域 例1.(1)函数y＝ln (tan x)的定义域为__________________________． (2)函数y＝tan 2x－2tan x＋3的最小值为________． 解析：(1)由题意得 即 故定义域为(k∈Z). (2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2. 答案：(1)(k∈Z)　(2)2 [总结] 　1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2．求正切函数值域的方法 (1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 【练一练】 1．函数y＝tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由－x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠－k1π－(k1∈Z).从而x≠k2π－(k2∈Z). 由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z)， ∴y＝tan 的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}． 2．函数y＝－tan 2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________． 解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 答案：[－4，4] 题型三　正切函数的单调性 例2.(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为__________________________． 解析：y＝tan x在区间上单调递增， 且tan