第五章 5．4．2　正弦函数、余弦函数的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质　　► 对应学生用书P122 第一课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2．最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 记一记：1.并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 2．如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 3．函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若2是函数f(x)的周期，则－2也是函数f(x)的周期．(　　 ) (2)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　 ) (3)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　 ) 　答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．下列四个函数中，图象关于y轴对称的是(　　 ) A．y＝sin x B．y＝1＋cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 解析：选B.图象关于y轴对称，则为偶函数，故选B. 3．若函数y＝sin (x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于(　　 ) A．0 B． C． D．π 解析：选C.代入排除，当φ＝时，y＝sin ＝cos x为偶函数． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　三角函数的周期 【练一练】 1．函数f(x)＝cos 的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．4π 解析：选D.函数f(x)＝cos 的最小正周期T＝＝4π. 2．利用已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________． 解析：易知f(x)的最小正周期T＝6， f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案：3 3．f(x)＝|sin x|的最小正周期为________． 解析：法一(定义法)　∵f(x)＝|sin x|, ∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的周期为π. 法二(图象法)　∵函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π. 答案：π 【悟一悟】 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可． 题型二　三角函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin ； (2)f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x)； (3)f(x)＝. 解：(1)显然x∈R，f(x)＝cos x， f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)由得－1<sin x<1. 解得定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg [1－sin (－x)]－lg [1＋sin (－x)]＝lg (1＋sin x)－lg (1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 【练一练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝＋. 解：(1)函数的定义域为R， 又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos