第五章 5．2．2　同角三角函数的基本关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．2.2　同角三角函数的基本关系　　　► 对应学生用书P113 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．同角三角函数的基本关系 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 2．基本关系式的变形公式 sin2α＋cos2α＝1⇒ 记一记：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　 ) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ 解析：选B.根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 2．(多选)已知sin θ＝－，且cos θ>0，则(　　) A．tan θ<0 B．tan2θ> C．sin2θ>cos2θ D．cosθ＝ 解析：选AB.∵sin θ＝－，且cos θ>0， ∴cos θ＝＝，∴tan θ＝＝－<0，tan2θ＝>，＝sin2θ<cos2θ＝. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用同角基本关系式求值 例1.(1)已知cosα＝－，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝. (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α， ∴＝＝－. 法二(弦化切)　∵tan α＝2， ∴＝＝＝＝－. ②2sin2α－sinαcos α＋cos2α＝ ＝＝＝. [总结]　关于sin α，cos α的齐次式的求值方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值． (2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式． 【练一练】 1．(1)(2023·河南驻马店期末)若tan α＝，则＝________． (2)已知tan x＝2，则4sin2x－3sin x cos x －5cos2x＝________． 解析：(1)由题意得＝＝－. (2)因为tan x＝2，所以4sin2x－3sinx cos x－5cos2x＝＝＝1. 答案：(1)－　(2)1 题型二　三角函数式的化简与证明　　 例2.(1)若sin α·tan α<0，化简：＋； (2)求证：＝. (1)解：因为sin α·tan α<0，所以cos α<0. 原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝＝－. (2)证明：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边，所以原等式成立． [总结] 　1.化简三角函数式的一般要求 (1)函数种类最少．(2)项数最少．(3)函数次数最低．(4)能求值的求出值．(5)尽量使分母不含三角函数．(6)尽量使分母不含根式． 2．证明三角恒等式常用的方法 (1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式). (2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式． (3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0. (4)从待证的恒等式出发，利用三角恒等变形公式，找出一个显然成立的恒等式或已有的结论． 【练一练】 2．化简下列各式：(1) ； (2). 解：(1)＝＝＝cos θ. (2) ＝ ＝ ＝＝1. 3．求证：＝. 证明：法一　右边＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边，所以原等式成立． 法二　左边＝＝， 右边＝＝＝＝＝，所以原等式成立． 题型三　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 例3.已知sin θ＋cos θ＝－，求下列各式的值： (1)