第五章 5．2．1　三角函数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．2　三角函数的概念　　　　　► 对应学生用书P110 [课程标准]　1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 5．2.1　三角函数的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tan α，即＝tan_α(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 记一记：(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数． (2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合． 二、三角函数值的符号 三角函数值在各象限的符号：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 记一记：正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 三、诱导公式一 (1)终边相同的角的同一三角函数值相等． (2)诱导公式一： sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α，tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z. 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.(　　 ) (2)sin α＝sin β，则α＝β.(　　 ) (3)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限． 3．已知角α的终边与单位圆的交点为P(，－)，则tan α＝________． 解析：tan α＝＝－. 答案：－ 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　三角函数的定义及应用 【练一练】 1．如果角α的终边经过点P(－，)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． 解析：由题意知r＝|OP|＝ ＝1， 所以sin α＝＝＝， cos α＝＝－＝－， tan α＝＝＝－. 答案：　－　－ 2．已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________________． 解析：因为r＝，cos θ＝，所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝. 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝. 答案：或 3．已知角α的终边在直线y＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：(1)当角α的终边在第一象限时，在其终边上取点(1，2)，由r＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝2. (2)当角α的终边在第三象限时，在其终边上取点(－1，－2)，由r＝＝，得sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝2. 【悟一悟】 已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值； (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便． 　提醒：当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论． 题型二　三角函数值的符号问题 例1.(1) 若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析：选B.三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所