第四章 4．2．2　指数函数的图象和性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．2.2　指数函数的图象和性质　　　　► 对应学生用书P70 第一课时　指数函数的图象和性质(一) 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 y＝ax 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是减函数 在R上是增函数 记一记：1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与底数a的关系：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的． 2．在同一坐标系中，底数a的大小与图象的高低情况如下： 【基点小试】 1.如图所示是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象，已知a的取值分别为，，，，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解析：选D.y轴右侧图象自上向下对应底数减小，D符合． 2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________． 解析：由0<2－a<1，得1<a<2. 答案：1<a<2 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　指数函数的图象 【练一练】 1．如图所示是下列指数函数的图象，①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解析：选B.可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越靠近x轴，故选B. 2．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是(　　) 解析：选C.由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n>m可知应选C. 3．已知函数f(x)＝ax＋1－3的图象恒过定点P，则P点的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(－1，－2) C．(－2，1) D．(0，－3) 解析：选B.令x＋1＝0，解得x＝－1，此时f(－1)＝1－3＝－2. 所以点P的坐标为(－1，－2)，故选B. 【悟一悟】 1. 指数函数的图象平移，一般遵循“左加右减，上加下减”的原则． 提醒：(1)牢记指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，图象分布在第一和第二象限；(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，则函数图象过定点(－c，k＋b). 题型二　与指数函数有关的图象变换问题　　　　　　　　　　　　　　　　 例1.如图所示是y＝a，y＝a的图象，则a1，a2的大小关系是(　　) A．a1>a2>1 B．a2>a1>1 C．0<a1<a2<1 D．0<a2<a1<1 解析：选A.因为y＝a＝ y＝a＝ 作直线x＝1可知a1>a2.故选A. [总结] 　(1)在同一平面直角坐标系内，识别多个指数函数图象底数的大小，可借助直线x＝1，根据x＝1与各图象交点纵坐标大小确定底数大小． (2)对形如f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)的函数，可利用偶函数性质，作出x>0时的函数图象，结合对称性求解． 【练一练】 1．函数y＝2－|x|的大致图象是(　　) 解析：选C.由y＝2－|x|＝知选C. 题型三　根据指数型函数图象确定解析式中参数 例2.若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则必有(　　) A．0<a<1，b>0 B．0<a<1，b<0 C．a>1，b<0 D．a>1，b>0 解析：选D.法一　由指数函数y＝ax(a>1)图象的性质知函数y＝ax(a>1)的图象过第一、二象限，且恒过点(0，1)，而函数y＝ax－(b＋1)的图象是由y＝ax的图象向下平移(b＋1)个单位长度得到的，如图，若函数y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则a>1且b＋1>1，从而a>1且b>0.故选D. 法二　由函数是增函数知a>1，又x＝0时，f(0)<0知b>0.故选D. [母题探究]　若将本例中的函数解析式不变，改为函数图象不经过第二象限，则a，b满足的条件是________． 解析：函数图象不经过第二象限，则a>1且f(0)≤0，即1－(b＋1)≤0，所以b≥0. 答案：a>1，b≥0 [总结] 　根据指数函数图象