第四章 4．2．1　指数函数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．2　指数函数　　　　　　　► 对应学生用书P69 [课程标准]　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义．　2.理解指数函数的概念．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 4．2.1　指数函数的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．值域y的范围为(0，＋∞). 想一想：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 (1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝2x＋1 C．y＝2－x D．y＝πx 解析：选CD.根据指数函数的定义中“形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数”，其系数为1，故A选项不满足形式；B选项的底数为2指数为x＋1，不满足形式；C选项y＝2－x＝，满足题意；D选项满足题意． 2．某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次(一个分裂为两个).求分别经过3 h和4 h，这种细菌由1个可繁殖成(　　) A．511个和4 096个 B．512个和4 095个 C．511个和4 095个 D．512个和4 096个 解析：选D.因为每20 min分裂一次，故3 h共分裂了9次，所以可繁殖成29＝512(个)；4 h共分裂了12次，所以可繁殖成212＝4 096(个). 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　指数函数的概念 【练一练】 1．下列以x为自变量的函数中为指数函数的是(　　) A．y＝3x＋1 B．y＝－3x C．y＝()x D．y＝(2x＋1)x 解析：选C.A中，y＝3×3x，故不是指数函数；B中，y＝－1×3x，故不是指数函数；D中，底数中含自变量x，故不是指数函数． 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 解析：选C.由指数函数的定义得：解得a＝2. 3．已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2，4)，则a＝________． 解析：由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3. 当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2，4)，符合题意； 当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2，4)，应舍去． 综上，a＝2. 答案：2 【悟一悟】 判断指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，a≠1)的三个特征． 题型二　函数y＝kax的实际应用 典例．放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半．已知铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等，若物质B的半衰期为8 h，则物质A的半衰期为________ h. 解析：设物质A的半衰期为t h，开始记录时容器中物质B的质量为m， 依题意：2m·＝m·，解得t＝7.5，所以物质A的半衰期为7.5 h. 答案：7.5 [总结] 　(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律， 若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律． (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题． 【练一练】 某生态文明小镇2018年年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2023年年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米(精确到1万m2)? 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋5x＝20(1＋1%)5·10， 所以x＝40×1.015－32≈10. 所以这个城市平均每年至少需要新增住房10万m2. 　高效导学第三步 课后集训巩固，提升综合素养 【基础巩固题组】 1．(多选)下列以x为自变量的函数中不是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)