第四章 4．1　指数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 4．1　指数　　　　　　　　　► 对应学生用书P66 [课程标准]　通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 n是奇数 a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x在实数范围内不存在 记一记：在根式中，注意以下几点： (1)n>1，n∈N＋. (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义． (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义． 二、根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n>1，且n∈N*) ①()n＝a． ②＝ 三、指数幂及其运算 1．分数指数幂的意义 分数 指数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)＝.(　　) (2)的运算结果是±2.(　　) (3)81的4次方根是±3.(　　) (4)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义．(　　) (5)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．正数的偶次方根是一个正数 B．正数的奇次方根是一个正数 C．负数的偶次方根是一个负数 D．负数的奇次方根是一个负数 答案：BD. 3．下列运算结果中，正确的是(　　 ) A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 解析：选A.a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A. 4.＝________． 解析：＝|3－π|＝π－3. 答案：π－3 5．(m)4＋(－1)0＝________． 解析：(m)4＋(－1)0＝m2＋1. 答案：m2＋1 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　根式 【练一练】 1．化简下列各式． (1)＋； (2)＋＋. 解：(1)因为＝|3－π|＝π－3，＝－π－3. 所以原式＝π－3－π－3＝－6. (2)原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4. 2．若x<y<0，试化简＋. 解：原式＝＋ ＝|x＋y|＋|y－x|. 因为x<y<0， 所以x＋y<0，y－x>0. 所以原式＝－(x＋y)＋(y－x)＝－2x. 【悟一悟】 在解决有关根式、绝对值、分式等问题时，一定要仔细观察、分析根号下式子的特征，为使开偶次方后不出现符号错误，一定要先用绝对值符号表示，然后利用已知条件去掉绝对值符号，对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论． 题型二　根式与分数指数幂 角度1　根式与分数指数幂的互化 例1.用分数指数幂表示下列各式： (1)a3·； (2)(a>0，b>0)； (3)(a>0，b>0). 解：(1)a3·＝a3·a＝＝a. [总结] 　根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应关系．①根指数↔分数指数的分母；②被开方数(式)的指数↔分数指数的分子． 角度2　条件根式的化简 例2.(1)化简÷的结果为(　　) A.－ B．－ C．－ D．－6ab 解析：选C.原式＝4a·b÷(－ab) (2)计算：＋0.1－2＋－3π0＋. 解：原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. [总结]　一般先将根式转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法． 【练一练】 1．化简的结果是(　　) A． B．x C．x2 D．1 解析：选D.原式＝＝x0＝1. 2．计算：＋0.002－10×(－2)－1＋(－)0＝________． 解析：原式＝(