第四章 4．5．3　函数模型的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．5.3　函数模型的应用　　　　　　► 对应学生用书P97 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 记一记：解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 【基点小试】 在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数(　　) A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝ 解析：选B.散点图如图所示： 由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　指数型函数模型 例1.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(取1.01210≈1.127，log1.0121.20≈15). 解：(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：100×(1＋1.2%)10≈112.7(万). (3)设x年后该城市人口将达到120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20. 所以x＝log1.0121.20≈15(年). [总结] 　指数型函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．增长率问题多抽象为指数型函数形式，当由指数型函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． 【练一练】 1．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠．某沙漠经过一段时间的治理，已有1 000 hm2植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4 000 hm2至少需要经过的年数为(　　) (参考数据：取lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C.经过x∈N年后，植被面积为1 000× hm2，由1 000×≥4 000，得x≥log4.因为log4＝＝＝＝7.5，所以x≥7.5，又因为x∈N，故植被面积达到4 000 hm2至少需要经过的年数为8. 题型二　对数型函数模型 例2.根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12)时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40)时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(0<a<1)图象的一部分，专家认为，当指数p大于或等于77时定义为听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数解析式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？ 解：(1)t∈(0，12)，p＝f(t)＝m(t－10)2＋80，将(1