第四章 4．5．1　函数的零点与方程的解-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．5　函数的应用(二)　　　　　　► 对应学生用书P91 [课程标准]　1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．　3.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 4．5.1　函数的零点与方程的解　　　　　► 对应学生用书P91 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、函数的零点 (1)函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 记一记：(1)函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0). (2)求函数零点就是求方程f(x)＝0的根，并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点． (3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内． 二、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 记一记：(1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (2)零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (3)零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0. (4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【基点小试】 1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　 ) A．； B．； C．；－ D．；－ 解析：选B.令y＝0，得2x－1＝0，x＝，故y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标为；零点是图象与x轴的交点的横坐标为. 2．(多选)(2023·江西南昌高一期末)若函数f(x)的图象在R上连续不间断，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，则下列说法不正确的是(　　 ) A．函数在区间(1，2)上有且只有1个零点 B．函数在区间(2，3)上一定没有零点 C．函数在区间(1，3)上一定有零点 D．函数在区间(2，3)上一定有零点 解析：选ABD.因为函数f(x)的图象在R上连续不间断，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0， 则f(1)·f(2)<0，f(1)·f(3)<0， 故函数f(x)在区间(1，2)上至少有一个零点，A错； 函数f(x)在区间(2，3)上可能有零点，也可能无零点，BD错； 函数f(x)在区间(1，3)上一定有零点，C对． 故选ABD. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求函数的零点 【练一练】 1．求函数f(x)＝1－log2(x＋3)的零点． 解：令1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数f(x)＝1－log2(x＋3)的零点是－1. 2．求函数f(x)＝的零点． 解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. 3．已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数 g(x)＝bx2＋ax的零点． 解：由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a， 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－. 【悟一悟】 求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法