第四章 4．4．3　不同函数增长的差异-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．4.3　不同函数增长的差异　　　　　► 对应学生用书P89 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 三种常见函数模型的增长差异 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越快 ，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢 ，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 记一记：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数．因此总会存在一个x0，使得当x>x0时，有ax>xn>logax. 【基点小试】 下面对函数f＝logx，g＝与h＝－在区间上的递减情况说法正确的是(　　 ) A．f递减速度越来越慢，g递减速度越来越快，h递减速度比较平稳 B．f递减速度越来越快，g递减速度越来越慢，h递减速度越来越快 C．f递减速度越来越慢，g递减速度越来越慢，h递减速度比较平稳 D．f递减速度越来越快，g递减速度越来越快，h递减速度越来越快 解析：选C.观察函数f＝logx、g＝、h＝－在区间上的图象如下图所示： 函数f的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数f在区间上，递减较慢，且越来越慢． 同样，函数g的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数h的图象递减速度比较平稳．故选C. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　几类函数模型增长差异的比较 【练一练】 1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝100x D．y＝100·2x 解析：选A.指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快． 2．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1(x)＝x2，②f2(x)＝4x，③f3(x)＝log2x，④f4(x)＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____．(只填序号) 解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④. 答案：④ 3．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是________． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50. 解析：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快，所以①的预期收益最大． 答案：① 【悟一悟】 函数增长快慢对函数曲线的影响 随着自变量的增大，如果函数值增长越来越快，则函数的图象越“陡”，类似于指数函数的图象；如果函数值增长越来越慢，则函数的图象越“缓”，类似于对数函数的图象． 题型二　三类函数图象的比较 例1.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是(　　) 解析：选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，即漏斗中液体漏出的速度是一定的，因此H增长的速度越来越大． [总结] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 【练一练】 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：选B.D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意． 题型三　函数模型的选择问题 例2.汽车制造商在2023年年初公告：公司计划2023年的生产目标为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如表所示： 年份/年 2020 2021 2022 产量/万辆 8 18 30 如果我们分别将2020，2021，2022，2023定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c