第四章 4．4．2　对数函数的图象和性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．4.2　对数函数的图象和性质　　　　► 对应学生用书P83 第一课时　对数函数的图象和性质(一) 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为(0，＋∞) ，值域为R 图象都过定点(1，0) ，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 ； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 记一记：(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论． (2)由对数函数的性质知，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象通过点，(1，0)和(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的图象． 二、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换． 记一记：反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． (3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同． 【基点小试】 1．在同一坐标系中函数y＝2－x与y＝log2x的图象是(　　) 解析：选A.由于y＝2－x＝中的底数0<<1，所以为减函数，所以排除BC，由于y＝log2x中的底数2>1，所以为增函数，所以排除D，故选A. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．logx D．2x－2 解析：选A.函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数函数的图象 角度1　对数函数的图象及变换 例1.作出函数y＝|lg (x－1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间． 解：先画出函数y＝lg x的图象(如图①). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y＝lg (x－1)的图象(如图②). 最后把y＝lg (x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y＝|lg (x－1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，单调递减区间为(1，2]，单调递增区间为(2，＋∞). [总结] 　现在画图象很少描点连线，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点． 角度2　图象辨析 例2.已知a>0，a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：选B.法一　若0<a<1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1，0)，与题中所给图象均不符合． 若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1，0)，故只有B中图象满足． 法二　首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方，函数y＝loga(－x)的图象只可能在y轴左侧，从而A，D中图象不正确；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，从而得到C中图象不正确，B中图象正确． 法三　如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定B正确． [总结] 　给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． 角度3　由对数函数的图象求参数的范围 例3.已知函数f(x)＝loga(3x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列关系式正确的是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 解析：选A.由题图可得a>1，则0<a－1<1.当x＝0时，y＝logab，结合题图可得－1<logab<0，即－1＝loga<logab<loga1＝0，又因为函数为增函数，所以0<a－1<b<1.故选A. [总结] 　若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． 【练一练】 1．(20