第四章 4．3．2　对数的运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．3.2　对数的运算　　　　　　　► 对应学生用书P78 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 二、换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 记一记：1.利用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝logNM，即logNnMm＝＝＝·＝logNM. 2．利用对数换底公式可以得出常用的推论： (1)logab·logba＝1⇔logab＝； (2) ＝logaM. 【基点小试】 1.2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C.2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2log55＝2. 2．lg 0.01＋log216的值是______ . 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 3．log23·log34·log42＝________． 解析：log23·log34·log42＝··＝1. 答案：1 4．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 解析：法一　由已知可得··＝2，即＝2， ∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3，a＝. 法二　由已知得logab··＝2，即loga3＝2，∴a＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数运算性质的应用 【练一练】 1. 计算：. 解：原式＝＝ ＝. 2．计算：(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. 解：原式＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 3．计算：2log32－log3＋log38－. 解：原式＝log34－log3＋log38－＝log3－9＝2－9＝－7. 【悟一悟】 　对数式化简的常用方法和技巧 　对于同底数的对数式，化简的常用方法是： (1)“收”，即逆用对数的运算性质，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式； (2)“拆”，即正用对数的运算性质，将对数式“拆”成真数的对数的和(差). 题型二　换底公式的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 例1. 已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝， log1456＝＝ ＝＝＝. [母题探究]　(1)若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，用a，b表示log1456. 解：因为3b＝2，所以b＝log32，又因为a＝log37， 所以log1456＝＝＝＝. (2)本题中a不变，b＝log36，试用a，b表示log1456. 解：因为log36＝log33＋log32＝b，所以log32＝b－1.又因为log37＝a， 所以log1456＝＝. [总结] 　用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式． 角度2　应用换底公式求值 例2. 计算：(1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解：(1)log1627·log8132＝×＝×＝×＝. (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23 ＝×× ＝. [总结] 　利用换底公式计算、化简、求值的思路 【练一练】 1．设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝1＋lg 2， 所以log23＝＝，故选D. 2．计算：log54·log1625＝________． 解析：log54·log1625＝×＝1. 答案：1 题型三　实际问题中的对数运算 例3. 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算