第三章 3．4　函数的应用(一)-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3．4　函数的应用(一)　　　　　　► 对应学生用书P60 [课程标准]　1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．　2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 记一记：解答实际应用问题的基本思想 从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，将实际生活问题抽象为数学问题． 【基点小试】 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000 t，则每吨800元，购买2 000 t，则每吨700元，那么一客户购买400 t，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 解析：选C.设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元). 2．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A． cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：选D.设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，分析知0<x<12，则两个正三角形的面积之和S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2，当x＝6时，Smin＝2. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　一次函数模型的应用 例1.某校高一(8)班共有学生50人，据统计，原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系． (1)求y与x的函数关系． (2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？ 解：(1)由题意，可设y与x的函数关系为y＝kx＋b，把(4，400)，(5，320)代入得解得所以y＝－80x＋720. (2)当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6 000(元)；若集体改饮桶装纯净水，设所有的费用为w元，由380＝－80x＋720，得x＝4.25(元/桶). 所以ω＝380×4.25＋780＝2 395(元)<6 000(元)， 所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱． [总结] 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 【练一练】 1．某地电信部门规定：从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不小于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[3.01]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的电话费为(　　) A．4.71元 B．4.24元 C．4.50元 D．4.77元 解析：选D.因为[6.5]＝7，所以f(6.5)＝1.06×(0.5×7＋1)＝4.77. 题型二　二次函数模型的应用 例2.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600 ＝－3(x－60)2＋1