第三章 3．3　幂函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3．3　幂函数　　　　　　　　► 对应学生用书P57 [课程标准]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律． 2．了解幂函数． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 记一记：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． 【基点小试】 1. 图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　　) A．，3，－1 B．－1，3， C．，－1，3 D．－1，，3 解析：选D.由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C1对应的α<0，C2对应的0<α<1，C3对应的α>1， 结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3. 2. 幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则整数a的值是(　　) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 解析：选B.由于幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，且a是整数， ∴－1<a<3，a∈Z， 当a＝0时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 当a＝1时，a2－2a－3＝－4，不是奇数； 当a＝2时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 故a＝0或2. 3．下列函数中的幂函数有________. ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x；④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 解析：由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数． 答案：①④ 4.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则f(4)＝______． 解析：由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，所以f(4)＝4＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　幂函数的概念 【练一练】 1．(多选)下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x0 B．y＝x－2 C．y＝(x＋1)2 D．y＝2·x 解析：选AB.形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y＝x0和y＝x－2为幂函数． 2．若幂函数f(x)的图象经过点(，3)，且f(a)＝8，则a＝(　　) A．2 B．3 C．128 D．512 解析：选A.设幂函数f(x)＝xα，∵它的图象经过点(，3)， ∴3＝()α，∴α＝3，∴f(x)＝x3. ∵f(a)＝a3＝8，∴a＝2. 3．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域． 解：∵为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}． 【悟一悟】 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1. (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 题型二　幂函数的图象及应用 例1.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x). 解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x