第三章 3．2．2　奇偶性-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3．2.2　奇偶性　　　　　　　　► 对应学生用书P53 第一课时　奇偶性的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 记一记：1.从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－3，5]上却不具有奇偶性． 2．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图象过原点． 【基点小试】 1. (多选)下列函数是奇函数的是(　　 ) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：选CD.利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B，故选CD. 2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：选C.∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　判断函数的奇偶性 【练一练】 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1<x<3) C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 解析：选A.选项A中，函数定义域为R，f(－x)＝x4－1＝f(x)，故该函数为偶函数；选项B中，函数定义域不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数；选项C中，函数定义域关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，故该函数为奇函数；选项D中，函数定义域关于原点对称，f(－x)＝－＝－f(x)，故该函数为奇函数．故选A. 2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|－g(x)是奇函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数 C．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．f(x)＋|g(x)|是偶函数 解析：选D.由|f(－x)|＝|f(x)|知，|f(x)|为偶函数，所以|f(x)|－g(x)和|f(x)|＋g(x)均不能确定奇偶性，故A，B不正确．由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，所以|g(－x)|＝|g(x)|，所以|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数，f(x)－|g(x)|为偶函数，故D正确，C不正确． 3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 【悟一悟】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 题型二　奇、偶函数的图象问题 例1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合； (4)求出函数f(x)在R上的解析式． 解：(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得完整图象如下． (2)由(1)所得函数图象知：单调递增区间为(－1，1)，值域R. (3)由(1)所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞). (4