第三章 3．2．1　单调性与最大(小)值-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3．2　函数的基本性质　　　　　　► 对应学生用书P46 [课程标准]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．　2.理解单调性的作用和实际意义．　3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、 最小值．理解函数的最大值、最小值的作用和实际意义．　4.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 3．2.1　单调性与最大(小)值 第一课时　单调性 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、增函数与减函数的定义 前提条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D 条件 ∀x1，x2∈I，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 特殊 情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 记一记：1.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定单调递增(减).如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 2．单调性的等价形式 ①若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在I上单调递增． ②若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0或<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，即x2>x1时，f(x2)<f(x1)，所以f(x)在I上单调递减． 二、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 记一记：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞). 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上单调递增．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).(　　) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(　　) (4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) (5)若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 解析：选C.由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1]. 3．(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________． (2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 答案：(1)　(2)(－∞，－1] 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用图象求函数的单调区间 【练一练】 1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　 ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析：选ABD.根据图象上升和下降分别对应增区间和减区间知ABD正确． 2．已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间． 解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝ (2)作出函数图象如图． (3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2). 【悟一悟】 求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． 题型二　函数的单调性判断与证明 例1.证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减． 证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·＝. ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x