第三章 3．1．2　函数的表示法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

3．1.2　函数的表示法　　　　　　　► 对应学生用书P43 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、函数的表示方法 记一记： 三种函数表示方法的适用情况 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 二、分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数． 记一记：(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【基点小试】 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) (4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　函数的三种表示方法 【练一练】 1．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x). 解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示． 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示． x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 2．某种商品每件0.5元，买x件，需花费y元，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数． 解：①列表法： x/件 1 2 3 4 y/元 0.5 1 1.5 2 ②解析法：y＝0.5x，x∈{1，2，3，4}． ③图象法：如图所示 【悟一悟】 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线． 题型二　求函数的解析式 例1.(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，求f(x)； (2) 已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)； (3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)； (4)若f(x)＋2f(－x)＝，求f(x). 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b， f(2x－1)＝a(2x－1)＋b， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6， 所以解得 即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3. (2) 法一(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1. 法二(配凑法)　因为x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1. (3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (4)因为f(x)＋2f(－x)＝，① 用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，② ②×2－①得3f(x)＝－－＝－， 所以f(x)＝－. [总结]　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可． (2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围． (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可． (4)方程组法(消去法)：适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))，相加为常数(f(a－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x或a－x替换原式中的x即可． 【练一练】 1．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1 解析：选A.令x－1＝t，则x＝t＋1