第二章 2．1　等式性质与不等式性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2．1　等式性质与不等式性质　　　► 对应学生用书P25 [课程标准]　1.梳理等式的性质．　2.理解不等式的概念．　3.掌握不等式的性质． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、不等关系与不等式 1．不等式指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子． 2．关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 　a－b>0⇔a>b； 　a－b＝0⇔a＝b； 　a－b<0⇔a<b． 说明：符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出 q，q也可以推出p，即 p与 q可以互推． 二、重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥ 2ab，当且仅当_a＝b 时，等号成立．这个不等式称为重要不等式． 记一记：重要不等式的常用变形 (1)ab≤； (2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2.当且仅当 a＝b 时，等号成立． 三、等式的性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd 同向正项 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 想一想：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？ 提示：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 【基点小试】 1．已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则(　　 ) A．t>s B．t≥s C．t≤s D．t<s 解析：选C.t－s＝－(a2＋2b＋1)＝－≤0，故t≤s，当a＝1时，t＝s. 2.(2023·首都师大附中高一检测)下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　 ) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b 解析：选D.选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时，＝无意义，不成立； 选项D，如果＝，则c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立． 3.下列结论正确的是(　　 ) A．若<，则a<b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac>bc，则a>b 解析：选A.<，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a<b，A正确； 当a＝－1，b＝0时，满足a2>b2，但a<b，B错误； 若a>b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误； 若ac>bc，c<0，则a<b，D错误. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　用不等式(组)表示不等关系 【练一练】 1．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为(　　 ) A．7 B．9 C．12 D．15 解析：选C.设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，且a，b，c为正整数， 则由题意得a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，可得a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1， 即c≥3，所以b≥4，a≥5，故参加这三项比赛的人数至少为3＋4＋5＝12. 2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________． 解析：矩形菜园靠墙的一边长为x m，则另一边长为 m，即(15－) m，根据已知得 答案： 3．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：____________(设糖水为a g，含糖为b g，加入的糖为m g). 解析：∵a g糖水中有b g糖，糖水的浓度为； a g糖水中有b g糖(a>b>0)，若再添m g糖(m>0)，则糖水的浓度为， 又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴<，a>0，b>0，a>