第二章 2．3　二次函数与一元二次方程、不等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式　　 ► 对应学生用书P32 [课程标准]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 第一课时　一元二次不等式的解法 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、一元二次不等式 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 二、一元二次不等式的解法 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0 的实数x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数图象 y＝ax2＋bx＋c 一元二次方 程的根ax2 ＋bx＋c＝0 两个不等实根x1，x2 两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不 等式解集 ax2＋bx＋c>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R 一元二次不 等式解集 ax2＋bx＋c<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 记一记：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x 轴交点的横坐标． (2)解集是指解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式． 【基点小试】 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 解析：选B.由题图知y>0的解集为{x|－1<x<2}． 2．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－2y>0；③－x2－3x<0；④>0. 其中是一元二次不等式的序号为________． 解析：①当a＝0时不是一元二次不等式；②含有两个未知量；④是分式不等式；③符合一元二次不等式的定义． 答案：③ 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 【练一练】 1．不等式6x2＋5x<4的解集为(　　) A．{x|x<－或x>} B．{x|－<x<} C．{x|x<－或x>} D．{x|－<x<} 解析：选B.将不等式6x2＋5x<4化简，可得(3x＋4)(2x－1)<0，所以－<x<，即不等式6x2＋5x<4的解集为{x|－<x<}，故选B. 2．使式子有意义的实数x的取值范围是(　　) A.{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1} C.{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 解析：选C.分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0. 3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)>0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 解析：选C.∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2>0，∴(x＋2)(x－1)>0，∴x<－2或x>1.故选C. 【悟一悟】 解不含参数的一元二次不等式的方法步骤 (1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0)； (2)求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：Δ＝0，Δ<0和Δ>0(即求相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2)； (3)画出对应二次函数的草图； (4)结合图形求不等式的解集． 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 例1.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨]　(1)对于二次项系数a是否需要分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？ (2)当a≠0时，是否还要比较两根大小？ 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<}； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>