第一章 1．2　集合间的基本关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系　　　　　► 对应学生用书P5 [课程标准]　1.理解集合之间包含与相等的含义．　2.能识别给定集合的子集．　3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、子集 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集． A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 记一记：(1)“A是B的子集”的含义：若任意一个元素x∈A，则x∈B. (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么A不是B的子集，可表示为AB(或B⊉A).若要证明AB，只需在A中找到一个元素a，满足a∉B即可． (3)不能简单地认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”．事实上，若A⊆B，有以下三种情况：①A为空集；②A是由B的部分元素构成的集合；③A是由B的全部元素构成的集合． 二、集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 三、真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A). 记一记：(1)注意⊆与⫋的区别，A⊆B包括A＝B与A⫋B两种情况． (2)在证明A⫋B时，应先证明A⊆B，再说明在集合B中至少存在一个元素a，使a∉A. 四、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A. 【基点小试】 1．已知集合A＝，B＝，且A⊆B，则a等于(　　 ) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：选B.因为A⊆B，所以a＋3＝1⇒a＝－2，经验证，满足题意． 2．若＝，则的值为(　　 ) A．0 B．1 C．－1 D．±1 解析：选C.因为＝，所以或 由可解得(舍去)或 由可解得 综上，ab＝－1，则＝－1. 3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B⫋A. 答案：B⫋A 4．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 解析：选D.对于A，{x|x＋3＝3}＝{0}；对于B，{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}＝{(0，0)}；对于C，{x|x2≤0}＝{0}；对于D，由于Δ＝(－1)2－4＝－3<0，即方程x2－x＋1＝0在实数范围内无解，故{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　集合间关系的判断 【练一练】 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　 ) 解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示． 2．给出如下表示： (1)∅＝{0}；(2)∅⊆{0}； (3)∅∈{0}；(4)0＝{0}； (5)0∈{0}；(6){1}∈{1，2，3}； (7){1，2}⊆{1，2，3}；(8){a，b}⊆{b，a}． 正确表示的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.∅表示空集，不含任何元素，{0}中有一个元素，则∅≠{0}，故(1)错误；由于空集是任何集合的子集，故(2)正确；∅和{0}都表示集合，故(3)错误；0表示元素，{0}表示集合，0∈{0}，故(4)错误，(5)正确；{1}，{1，2，3}都表示集合，故{6}错误；集合{1，2}中的元素都是集合{1，2，3}中的元素，故{7}正确；任何一个集合是它本身的子集，故{a，b}⊆{b，a}，故(8)正确．综上，正确表示的个数是4，故选D. 3．指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⫋B. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，等