第一章 1．5．1　全称量词与存在量词-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1．5　全称量词与存在量词　　　　　► 对应学生用书P18 [课程标准]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 1．5.1　全称量词与存在量词 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 记一记：全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”． 二、存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. (2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 记一记：(1)存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题． (2)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． 【基点小试】 1．(多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　 ) A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形 C．∃x∈R，3x＋2>0 D．至少有一个整数m，使得m2<1 解析：选CD.A是全称量词命题，BCD为存在量词命题．显然B为假命题； C选项，取x＝0，则3×0＋2>0，为真命题；D选项，取m＝0，则02<1，为真命题． 2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为_________________________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 【练一练】 1．(多选)下列命题为存在量词命题的是(　　 ) A．某些二次函数的图象与y轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 解析：选AD.根据全称量词和存在量词的定义，可知AD为存在量词命题，BC为全称量词命题． 2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数． (3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． 【悟一悟】 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 题型二　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【练一练】 3．下列命题中是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．有大于1的实数x，使得x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：选C.对于A，是真命题，但不是全称量词命题，故A不符合要求； 对于B，是假命题，故B不符合要求； 对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C符合要求； 对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不符合要求． 4．(多选)下列四个命题为真命题的是(　　 ) A．所有四边形的内角和都是360° B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．∃x∈{x是无理数}，x2是无理数 D．对所有实数a，都有|a|>0 解析：选AC.对A，所有四边形的内角和都是360°，故A是真命题； 对B，x2＋2x＋2＝＋1>0恒成立，故B是假命题； 对C，存在π是无理数，π2是无理数，故C是真命题； 对D，存在a＝0，此时|a|＝0，故D是假命题． 5．(多选)下列命题中真命题有(　　 ) A．每一个正方形都是平行四边形 B．∀a∈R，二次函数y＝2x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360° D．存在一个无理数，它的立方是有理数 解析：选ABD.每一个正方形是平行四边形，所以A正确； ∀a∈R，由x∈R，函数f＝2x2＋a＝f，所以f的图象关于y轴对称，所以B正确； 因为每一个四边形都可以分成