第一章 1．4．2　充要条件-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1．4.2　充要条件　　　　　　　► 对应学生用书P16 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 记一记：(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 【基点小试】 设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q，故p是q的充要条件． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　充要条件的判断 【练一练】 1．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　 ) A．A∩B＝A B．∩B＝∅ C．⊆ D．A∪∁UB＝U 解析：选BCD.由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件． 2．(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　 ) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：A∪B＝A，q：B⊆A C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等 D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 解析：选BC.对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误； 对于B，由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确； 对于C，三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确； 对于D，四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误． 3．(2022·江西宜春高一检测)下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③. 答案：①②③ 【悟一悟】 充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 题型二　充要条件的证明 例1.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：法一　充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 必要性：由<，得－<0，即<0， 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 法二　<⇔－<0⇔<0， 因为x>y⇔y－x<0，所以<0⇔xy>0， 所以<⇔xy>0， 即<的充要条件是xy>0. [总结] 　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 【练一练】 1．证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 证明：(1)充分性：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0，<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根， ∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 题型三　充要条件的探求与应用 例2.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：