第五章 5．2．2　同角三角函数的基本关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第五章 三角函数 5．2　三角函数的概念 5．2．2　同角三角函数的基本关系 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 1．同角三角函数的基本关系 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 _________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ___________________ ___________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 sin2α＋cos2α＝1 tanα＝ eq \f(sin α,cos α) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z) 2．基本关系式的变形公式 sin2α＋cos2α＝1⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,（sin α±cos α）2＝1±2sin α cos α.)) 记一记：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝ eq \f(sin α,cos α) 仅对α≠ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)成立． 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　 ) A．sin α＝ eq \f(1,2) 且cos α＝ eq \f(1,2) B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ eq \f(sin α,cos α) 解析：根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 答案：B 2．(多选)已知sin θ＝－ eq \f(2,3) ，且cos θ>0，则(　　) A．tan θ<0 B．tan2θ> eq \f(4,9) C．sin2θ>cos2θ D．cosθ＝ eq \f(5,9) 解析：∵sin θ＝－ eq \f(2,3) ，且cos θ>0，∴cos θ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(5),3) ， ∴tan θ＝ eq \f(sin θ,cos θ) ＝－ eq \f(2\r(5),5) <0，tan2θ＝ eq \f(4,5) > eq \f(4,9) ， eq \f(4,9) ＝sin2θ<cos2θ＝ eq \f(5,9) . 答案：AB 题型一　利用同角基本关系式求值 例1.(1)已知cosα＝－ eq \f(3,5) ，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求 eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) 的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－ eq \f(3,5) ＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， ∴sin α＝ eq \r(1－cos2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(4,3) ； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(4,3) . (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴ eq \f(sin α,cos α) ＝2，∴sin α＝2cos α， ∴ eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(2cos α－3cos α,2cos α＋cos α) ＝－ eq \f(1,3) . 法二(弦化切)　∵tan α＝2， ∴ eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(\f(sin α,cos α)－3,\f(sin α,cos α)＋1) ＝ eq \f(ta