第四章 4．5．3　函数模型的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第四章 指数函数与对数函数 4．5　函数的应用(二) 4．5．3　函数模型的应用 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ eq \f(k,x) ＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 记一记：解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 【基点小试】 在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数(　　) A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝ eq \f(b,x) 解析：散点图如图所示： 由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D. 答案：B 题型一　指数型函数模型 例1.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(取1.01210≈1.127，log1.0121.20≈15). 解：(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：100×(1＋1.2%)10≈112.7(万). (3)设x年后该城市人口将达到120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20.所以x＝log1.0121.20≈15(年). [总结] 　指数型函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．增长率问题多抽象为指数型函数形式，当由指数型函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． 【练一练】 1．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠．某沙漠经过一段时间的治理，已有1 000 hm2植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4 000 hm2至少需要经过的年数为(　　) (参考数据：取lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：经过x∈N年后，植被面积为1 000× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5))) eq \s\up12(x) hm2，由1 000× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5))) eq \s\up12(x) ≥ 4 000，得x≥log eq \s\do9(\f(6,5)) 4.因为log eq \s\do9(\f(6,5)) 4＝ eq \f(lg 4,lg 6－lg 5) ＝ eq \f(2lg 2,lg 2＋lg 3－（1－lg 2）) ＝ eq \f(2lg 2,2lg 2＋lg 3－1) ＝7.5，所以x≥7.5，又因为x∈N， 故植被面积达到4 000 hm2至少需要经过的年数为8. 答案：