第四章 4．5．2　用二分法求方程的近似解-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第四章 指数函数与对数函数 4．5　函数的应用(二) 4．5．2　用二分法求方程的近似解 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 近似值 一分为二 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点_________的方法叫做二分法． 记一记：(1)二分法的本质是利用函数零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值． (2)只有函数的变号零点才能利用二分法求解．如图①中的零点能利用二分法求解，图②中的零点则不能利用二分法求解． 　　　 【基点小试】 用二分法求方程的近似解，求得函数f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如下：f(1)＝－6，f(2)＝3，f(1.5)＝－2.625，f(1.75)＝－0.140 625，则方程x3＋2x－9＝0的一个近似根x所在区间为(　　) A．(1，1.75) B．(1.75，2) C．(1.5，1.75) D．(1，1.5) 解析：由题意，知f(1)·f(2)<0，f(1.5)·f(2)<0，f(1.75)·f(2)<0， 所以函数的零点在区间(1.75，2)内，即方程x3＋2x－9＝0的一个近似根x所在区间为(1.75，2).故选B. 答案：B 题型一　二分法的概念 【练一练】 1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点． 答案：C 2．下列函数一定能用“二分法”求其零点的是(　　) A．y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0) C．y＝2x D．y＝ eq \f(k,x) (k≠0，k为常数) 解析：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故CD不能用“二分法”求其零点，故CD错误； 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常 数，且a≠0)，当Δ＝b2－4ac≤0时，不能用二分法，故B错误； 由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确． 答案：A 3．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f(x)＝x3－2 B．f(x)＝ln x－3 C．f(x)＝x2＋2 eq \r(2) x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 解析：∵f(x)＝x2＋2 eq \r(2) x＋2＝(x＋ eq \r(2) )2≥0.故选C. 答案：C 【悟一悟】 二分法的理解 (1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． (2)“二分法”与函数零点存在定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 题型二　用二分法求方程的近似解，函数的零点 [典例]用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1). 解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算， f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0．75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0．75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1， 所以方程2x