第四章 4．3．2　对数的运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第四章 指数函数与对数函数 4．3　对数 4．3．2　对数的运算 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 一、对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝___________________ loga eq \f(M,N) ＝___________________ logaMn＝___________________ (n∈R) logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 二、换底公式 logab＝ eq \f(logcb,logca) (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 记一记：1.利用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝ eq \f(m,n) logNM，即logNnMm＝ eq \f(lg Mm,lg Nn) ＝ eq \f(m lg M,n lg N) ＝ eq \f(m,n) · eq \f(lg M,lg N) ＝ eq \f(m,n) logNM. 2．利用对数换底公式可以得出常用的推论： (1)logab·logba＝1⇔logab＝ eq \f(1,logba) ； (2) ＝ eq \f(m,n) logaM. 【基点小试】 1．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2log55＝2. 答案：C 解析：log23·log34·log42＝ eq \f(lg 3,lg 2) · eq \f(lg 4,lg 3) · eq \f(lg 2,lg 4) ＝1. 答案：1 2．lg 0.01＋log216的值是______ . 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 3．log23·log34·log42＝________． 4．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 解析：法一　由已知可得 eq \f(lg b,lg a) · eq \f(lg c,lg b) · eq \f(lg 3,lg c) ＝2，即 eq \f(lg 3,lg a) ＝2， ∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3，a＝ eq \r(3) . 法二　由已知得logab· eq \f(logac,logab) · eq \f(loga3,logac) ＝2，即loga3＝2，∴a＝ eq \r(3) . 答案： eq \r(3) 题型一　对数运算性质的应用 【练一练】 1. 计算： eq \f(lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000),lg 1.2) . 解：原式＝ eq \f(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2),lg 3＋2lg 2－1) ＝ eq \f(\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,lg 3＋2lg 2－1) ＝ eq \f(3,2) . 2．计算：(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. 解：原式＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 3．计算：2log32－log3 eq \f(32,9) ＋log38－. 解：原式＝log34－log3 eq \f(32,9) ＋log38－＝log3 eq \f(4×8,\f(32,9)) －9＝2－9＝－7. 【悟一悟】 对数式化简的常用方法和技巧 对于同底数的对数式，化简的常用方法是： (1)“收”，即逆用对数的运算性质，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式； (2)“拆”，即正用对数的运算性质，将对数式“拆”成真数的对数的和(差). 题型二　换底公式的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 例1. 已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝ eq \f(1,b) ， log1456＝ eq \f(log356,log314) ＝ eq \f(log3（23×7）,log3（2×7）) ＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37) ＝ eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a) ＝ eq \f(3＋ab,1＋ab) . [母题探究]　(1)若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，用a，b表示log1456. 解：因为3b＝2，所以b＝log32