第三章 章末总结　(三)函数的概念与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第三章 函数的概念与性质 章末总结　(三)函数的概念与性质 考点一　函数的定义域、值域 1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集． 2．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法． 3．通过求解函数的定义域和值域，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1.(1)函数f(x)＝ eq \f(1,x2－1) 的定义域为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|x≠±1} 解析：因为f(x)是分式，所以函数f(x)的定义域是使分母不等于零的实数，故x2－1≠0，即x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}． 答案：D (2)函数y＝ eq \f(1－x2,2＋x2) 的值域是(　　) A．(－1， eq \f(1,2) ] B．(－1，1) C．(－∞， eq \f(1,2) ) D．(－2，2) 解析：函数y＝ eq \f(1－x2,2＋x2) ＝ eq \f(－（x2＋2）＋3,x2＋2) ＝－1＋ eq \f(3,x2＋2) ， ∵0< eq \f(3,x2＋2) ≤ eq \f(3,2) ，∴－1<y≤ eq \f(1,2) . 答案：A 【练一练】 1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)＝ eq \f(f（2x）,x－1) 的定义域为(　　) A．[0，1)∪(1，4] B．[0，2] C．[0，1)∪(1，2] D．[0，1] 解析：函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，f(2x)满足0≤2x≤4，即0≤x≤2，又分母不为0，则x≠1，所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2]. 答案：C 2．函数y＝ eq \f(3－2x,2x＋1) 的值域是(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y≠\f(3,2))))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠3)) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠－2)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠－1)) 解析： y＝ eq \f(3－2x,2x＋1) ＝ eq \f(－（2x＋1）＋4,2x＋1) ＝－1＋ eq \f(4,2x＋1) ， ∵ eq \f(4,2x＋1) ≠0，∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠－1)) .故0选D. 答案：D 考点二　求函数的解析式 1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养． 例2.(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝ eq \r(x) ＋1，则f(x)的解析式为________________________________； (2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x))) ＝ eq \f(1＋x2,x2) ＋ eq \f(1,x) ，则f(x)的解析式为________________________． 解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝ eq \r(－x) ＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝ eq \r(－x) ＋1， ∴f(x)＝－ eq \r(－x) －1. ∵f(x)是在R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.)) (2)令t＝ eq \f(1＋x,x) ＝ eq \f(1,x) ＋1，则t≠1.把x＝ eq \f(1,t－1) 代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x))) ＝ eq \f(1＋x2,x2) ＋ eq \f(1,x) ， 得f(t)＝ eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))\s\up12(2)) ＋ eq \f(1,\f(1,t－1)) ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞