第三章 3．3　幂函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第三章 函数的概念与性质 3．3　幂函数 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 奇 偶 奇 非奇非偶 减 增 减 增 增 减 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 [课程标准]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 的图象，理解它们的变化规律．2．了解幂函数． 一、幂函数的概念 一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) ，y＝x－1的图象如图所示： y＝xα 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) ________________ 值域 R _________ R ____________ _________________ 奇偶性 ___ ___ ___ ____________ ___ 单调性 增 在[0，＋∞)上___， 在(－∞，0]上___ ___ ___ 在(0，＋∞)上___， 在(－∞，0)上___ 记一记：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． 【基点小试】 1. 图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　　) A． eq \f(1,2) ，3，－1 B．－1，3， eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) ，－1，3 D．－1， eq \f(1,2) ，3 解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C1对应的α<0，C2对应的0<α<1，C3对应的α>1， 结合选项知，指数α的值依次可以是－1， eq \f(1,2) ，3. 答案：D 2. 幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则整数a的值是(　　) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 解析：由于幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，且a是整数，∴－1<a<3，a∈Z， 当a＝0时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 当a＝1时，a2－2a－3＝－4，不是奇数； 当a＝2时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 故a＝0或2. 答案：B 3．下列函数中的幂函数有________. ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x；④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 解析：由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数． 答案：①④ 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2， eq \f(\r(2),2) )，则f(4)＝______． 解析：由f(2)＝ eq \f(\r(2),2) 可知2α＝ eq \f(\r(2),2) ，即α＝－ eq \f(1,2) ，所以f(4)＝4 eq \s\up8(－\f(1,2)) ＝ eq \f(1,2) . 答案： eq \f(1,2) 题型一　幂函数的概念 【练一练】 1．(多选)下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x0 B．y＝x－2 C．y＝(x＋1)2 D．y＝2·xeq \s\up10(\f(1,3)) 解析：形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y＝x0和y＝x－2为幂函数． 答案：AB 2．若幂函数f(x)的图象经过点( eq \r(3) ，3 eq \r(3) )，且f(a)＝8，则a＝(　　) A．2 B．3 C．128 D．512 解析：设幂函数f(x)＝xα，∵它的图象经过点( eq \r(3) ，3 eq \r(3) )， ∴3 eq \r(3) ＝( eq \r(3) )α，∴α＝3，∴f(x)＝x3. ∵f(a)＝a3＝8，∴a＝2. 答案：A 3．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义