第二章 2．2　基本不等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2．2　基本不等式 第一课时　基本不等式 高效导学第一步 预习教材新知， 落实必备知识 不小于 a＝b 高效导学第二步 课堂互动探究， 培优关键能力 培优拓展系列(三)·由三个实数的关系求最值问题 [课程标准]　1.掌握基本不等式： eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a，b≥0).　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0， eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) ，当且仅当_________时，等号成立．其中_______叫做正数a，b的算术平均数，___叫做正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式表明：两个正数的算术平均数_________它们的几何平均数． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 记一记：基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2 eq \r(ab) (其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)； (2)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ≤ eq \f(a2＋b2,2) (其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)； (3) eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2(a，b同号). 二、最值定理 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______． 2 eq \r(P) eq \f(1,4) S2 记一记：应用上述结论时要注意以下三点： (1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值． 即一正、二定、三相等，三个条件缺一不可． 【基点小试】 1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b< eq \r(ab) < eq \f(a＋b,2) B．a< eq \r(ab) < eq \f(a＋b,2) <b C．a< eq \r(ab) <b< eq \f(a＋b,2) D． eq \r(ab) <a< eq \f(a＋b,2) <b 解析：由0<a<b，得a2<ab<b2，所以a< eq \r(ab) <b.由0<a<b，得2a<a＋b<2b，所以a< eq \f(a＋b,2) <b，又 eq \r(ab) < eq \f(a＋b,2) ，所以a< eq \r(ab) < eq \f(a＋b,2) <b. 答案：B 2．已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是______. 解析：正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y≥2 eq \r(4xy) ＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝ eq \f(1,2) 时，取得等号． 答案：4 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为____，此时x＝____． 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（1－x）,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,4) ，当且仅当x＝1－x，即x＝ eq \f(1,2) 时“＝”成立，即当x＝ eq \f(1,2) 时，x(1－x)取得最大值 eq \f(1,4) . 答案： eq \f(1,4) 　 eq \f(1,2) 题型一　对基本不等式的理解 【练一练】 1．给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)· \f(a,b)) ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴ eq \f(4,a) ＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a) ＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴ eq \f(x,y) ＋ eq \f(y,x) ＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))) ≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))) ＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：①∵a，b为正实数，∴ eq \f(b,a) ， eq