专题20 一元一次方程的应用（希望工程及追赶小明）-2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题20希望工程及追赶小明 【知识梳理】 知识点01用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 【点石成金】 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点02“希望工程”义演（分配问题） 分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等. 这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识. 【点石成金】 分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系. 知识点03追赶小明（行程问题） （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系： 顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型探究】 题型一方案选择问题 1.春节快到了，富有经济头脑的小强准备用600元购买同一款式的小灯笼共30个拿去出售，经过了解得知该款式小灯笼分别有三种不同的型号，其进价分别是：甲种小灯笼每个21元，乙种小灯笼每个18元，丙种小灯笼每个15元． （1）若小强同时购进其中两种不同型号的小灯笼共30个，刚好用去600元，请你帮小强通过计算研究一下有几种进货方案？ （2）若小强卖出一个甲种小灯笼可赚10元，卖出一个乙种小灯笼可赚8元，卖出一个丙种小灯笼可赚7元，在同时购进两种不同型号小灯笼的方案中，为了赚的钱更多，小强该选择哪种方案？ 【答案】（1）购进甲种小灯笼20个和乙种小灯笼10个或购进甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个；（2）选择购进甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个的进货方案 【分析】 (1)由于有三种不同型号小灯笼，但小强同时购进的其中两种不同型号的小灯笼，所以要分三种情况进行讨论:①购进的是甲种小灯笼和乙种小灯笼；②购进的是甲种小灯笼和丙种小灯笼；③购进的是乙种小灯笼和丙种小灯笼； (2)根据(1)得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案. 【详解】 解：（1）有三种不同型号小灯笼，但小强同时购进的其中两种不同型号的小灯笼，所以要分情况讨论： ①若购进的是甲种小灯笼和乙种小灯笼时，设甲种小灯笼为x个，可列方程： 21x+18(30﹣x)=600， 解得：x=20（符合题意），则30﹣x=30﹣20=10． 所以这种情况的进货方案是：甲种小灯笼20个和乙种小灯笼10个； ②若购进的是甲种小灯笼和丙种小灯笼时，设甲种小灯笼为y个，可列方程： 21y+15(30－y)=600， 解得：y=25（符合题意），则30－y=30－25=5． 所以这种情况的进货方案是：甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个； ③若购进的是乙种小灯笼和丙种小灯笼时，设甲种小灯笼为z个，可列方程： 18z+15(30﹣z)=600， 解得：z=50（不符合题意），所这种情况行不通，不存在． 所以小强同时购进其中两种不同型号的小灯笼共30个，刚好用去600元，可以购进甲种小灯笼20个和乙种小灯笼10个或购进甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个； （2）根据（1）得出的进货方案，结合本问的条件： 当“购进甲种小灯笼20个和乙种小灯笼10个”出售时可赚：10×20+8×10=280（元）． 当“购进甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个”出售时可赚：10×25+7×5=285（元）． 由于285＞280， 故小强该选择“购进甲种小灯笼25个和丙种小灯笼5个”的进货