3.1.2椭圆的简单几何性质分类练习题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章：圆锥曲线的方程 3.1.2　椭圆的简单几何性质分类练习题 知识点汇总： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 同理：弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2） 结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为。 （3） 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：。 题型一：椭圆的焦点、焦距 1．以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ） A．6 B．15 C．20 D．12 3．与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的顶点，长短轴 4．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ） A．2 B．2 C． D．4 5．椭圆与关系为（ ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相等的焦点 D．有相等的焦距 6．、是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的动点．若面积的最大值为8，则椭圆长轴长的最小值为（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 题型三：椭圆的范围问题 7．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的离心率问题 10．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 题型五：椭圆的相交弦问题 13．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 14．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（ ） A． B． C． D． 15．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的位置关系问题 16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A､B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程. 17．已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值. 18．已知椭圆的短轴长为，离心率为. （1）求的标准方程； （2）过点且斜率为的直线交于，两点，且，均位于第四象限，求的取值范围. 题型七：椭圆的定点、定值、最值问题 19．已知椭圆的离心率是，一个顶点是. （1）求椭圆C的标准方程 （2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点. 20．已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）①当时，求弦长(用表示)； ②已知点，若为定值，求面积的最大值． 21．设椭圆的离心率，过点A（1，）. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答