20.4课题学习 最短路径问题 课件2023-2024学年人教版（五四制）数学八年级上册

20.4课题学习 最短路径问题 学习目标 1.利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 问题引入 例：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ A B l A、B在直线l的同侧时，在直线上找点C使得AC+BC最小. A、B在直线l的异侧，在直线上找点C使得AC+BC最小. 转化 B' C C 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ A B 问题分析 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。 问题描述：已知两条直线a，b，a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点M、N在直线什么位置时，AM+MN+NB最小呢？ 思考：能否简化这个问题？ 思考：左图和右图的区别是什么？如何通过图形的变换(轴对称、平移等）转化为右图？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？ 转化2：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？ 将AM沿与河岸垂直的方向平移，使得点M与点N重合，此时点A移动到点A'，则AA'=MN，AM=A'N。 问题1、已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB的值最小。 P 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，则点P就是所求。 根据：两点之间线段最短. 探索新知 C 　　追问1　类比问题1,对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · 思考：问题1与问题2的联系与区别分别是什么？ 　　追问2　你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · 　　作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · B′ C 探索新知 　　追问3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C 　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． ∴在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． 探索新知 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 　　若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 探索新知 B · l A · B′ C C′ 　　追问4　证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 　　将军饮马 问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ B A l 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 活动1活动1 思考 如果点A和点B分别位于直线l的异侧,如何在直线l上找到一点,使得这个点到点A和点B的距离的和最短? 连接AB,与直线l相交于一点P,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点P即为所求。 P 如果我们把台球桌做成等边三角