20.4课题学习 最短路径问题 课件2023-2024学年人教版（五四制）数学八年级上册

20.4课题学习 最短路径问题 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 学习目标 如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？ 依据“两点之间，线段最短”可知，路线（3）是最近的. 复习旧知 如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最短的？ 依据“垂线段最短”可知（2）是最短的. l (1) (2) (3) A 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？ A B l C 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”知， AC=BC. 相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传. l B A 导入新知 1.如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短. 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短. P l A B C D 导入新知 3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. A B ① ② ③ P l A B C D 新知一 利用对称知识解决最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. 合作探究 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 解：连接AB,与直线l相交于一点C. 问题1： A l B C 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？ 【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 问题2： 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． 问题3： A B l B ′ C C ′ 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示，将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线. B l A 新知一 两点一线型 你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？ 合作探究 如图： 点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？ B l A 作图问题：在直线 l 上求作一点C，使AC+BC最短． 如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？ 解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短. 如图，点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？ B l A C 你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？ 分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？ B l A 如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称