第7章锐角三角函数（提优版） 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

锐角三角函数（提优版） 题型一：求一个角的三基函数值 1．已知点E，F分别在正方形的边CD，AD上，，，则 ．    【答案】 【详解】解：如图：延长交的延长线于，设的中点为，连， ∵， ∴， ∴，    四边形是正方形， ，， ， ， ， 则， ， ， ， 设，， ，， ，， ， ，   ， ，，， ， 整理得到：， 或0（舍弃）． ． 故答案为． 2．如图，在中，，、分别是边、上的中线，且，垂足为点，那么 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，作于，与，设， ， 、分别是边、的中点， 为的中位线， ，， 于，与，， ， 四边形是矩形， ，，， 、分别是边、的中点，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点G， 将绕点C旋转，点B落在线段上的点F处， ，，，， ， ； ，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中 ， ， ，， ， ． 故答案为：． 题型二：网格图问题 1．在下列网格中，小正方形的边长均为1 ，点都在网格的顶点上，求 ．    【答案】 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于， 则，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．    【答案】3 【详解】连接，    ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴在中，． 故答案为：3． 3．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（    ）    A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故选：D． 题型三：三角函数和折叠 1．矩形中，是的中点（如图），将沿翻折，点落在点处，连接，如果，那么： （1） ；   （2）的比值为 ．    【答案】 【详解】解：（1）是的中点， ， 由折叠的性质可得：， ， ，， ， ， ，即， 故答案为：； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， 是的中点， ， ， 由折叠的性质可得，， ，即， ， 由（1）得， ， ， 故答案为：． 2．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，    由折叠得：，， ∴， ∵点M为的黄金分割点（）， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 3．（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度； （）如图，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点．当点恰好落在折痕上， 则① 度； ②若，求线段的长； （）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将矩形沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，则 （用含、的代数式表示结果）． 【答案】（1）45；（2）①60；②；③ 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由折叠得：，， ， 故答案为：； （2）①如图，由折叠得：，， ， ， ， 故答案为：； ②四边形是正方形， ， ， ， ， ，， 在中， （3）解：如图3，延长交于点，过点作于， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，， 在和中， ， （）， ，， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 解得：， 题型四：三角函数和圆 1．如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连、，若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， 设半径， ∵， ∴,， 在中，， 在中，； （3）在（2）的条件下，