第7章锐角三角函数（基础版） 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

锐角的三角函数 题型一：正切 1．在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由翻折而成， ． 设，则， 在中，，即，解得， ． 故选：C． 2．如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：和均为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 故选：A． 3．如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据折叠，可知：， ，． 在和中， ， ∴， ，． 设，则，， ，， ． 在中，，即， 解得：， ， ． 故选C 4．如图，是的直径，点C和点D在上，若的半径是4，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是直径， ， 的半径是4， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 故选：D． 5．如图，中，，过C点作，且，连接，则 ．    【答案】 【详解】解：过点A作垂直的延长线交于点E， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，， 过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴．    题型二：正弦 1．如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．．如图所示，在中，，，且，求：    (1)的值； (2)的周长及面积． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：的周长， ． 3．点E为正方形的边上一点，连接，且与相交于点M．若，则 ．      【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 题型三：余弦 1．在中，若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴是斜边，所对的角是直角，即是直角， ∴． 故答案为：． 2．如图，在中，，，，于点D，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于 ．    【答案】 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， 设三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意得： 解得： 故答案为：． 题型四：特殊角的三角函数值 1．在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 2． ． 【答案】/ 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ． （2） ． 题型五：解非特殊角的三角函数值 6．在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 2．化简： ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 3．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 4．如图，在平直角坐标系中，，，点的坐标为．      (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）如图，过作轴于点，∴，      在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴点， （2）由(1)得：，， ∵的坐标为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 5．在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同