12.3 角的平分线的性质（四大类型题专项练习）八年级数学上册人教版（含答案）

12.3 角的平分线的性质（四大类型题专项练习） 八年级数学上册人教版（含答案） 角平分线，是初中阶段一条十分重要的线，它是几何图形的一条综合线，既可以计算角的大小，也可以通过角平分线的性质定理求证出边相等，从而进行边的相等及等量代换等运用。 那么角的平分线的性质是什么呢？角的平分线上的点到角的两边的距离相等，这就是角平分线的性质。在全等三角形这一单元里，角平分线作为一种特殊的存在，与三角形的全等证明息息相关。 三角形的全等的求证过程中，既可以借助角平分线，利用其平分角的能力，找出大小相等的两个角（A）；又可利用角平分线的性质，找到其上一点到角两边相等的两条垂线段，为全等创作了边（S）相等的条件。从而使全等三角形的证明条件充足，能够顺利进行，。 角平分线同时具备平分角和得到边相等的性质，其作用是十分广泛的。所以，必须理解和掌握角平分线的性质, 会利用这个性质进行计算与证明。还要求能将角平分线与三角形的全等证明结合起来综合运用。 接下来，我们便结合全等三角形的一些证明内容与方法，以一些题目来分析角平分线的性质及其运用。 类型一：利用角平分线求长度 题目（1） 如图,△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， CD＝5cm，则点D到AB的距离为 cm． C D B A 题目（2） 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=3cm， 则PE=_____cm. D E P A O B C 题目（3）如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm， 则AD+DE= cm. E B A D C 题目（4） 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是 【分析总结】 利用角平分线求长度问题，是角平分线最常见的题型，也是小题中最常考的类型。先要理解角平分线的有关性质内容，然后再结合题目图形找出正确的相等的两边（即是两条垂线段），就可以进行下一步边的求解了。 类型二：利用角平分线求角度 题目（5） 点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等， ∠A＝40°，则∠BOC的度数为__________． 题目（6） 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为 半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点， 再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧， 两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M. 若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数． 【方法总结】 前面的题目（5）和题目题目（6）利用角平分线来求角度，主要是把握好“将大角平分成两个小角”这一技巧点。而题目（7）是要求掌握角平分线的作图方法与步骤，最终根据作图确定AM是∠BAC的角平分线。 类型三：利用角平分线的性质证明线段相等 题目（7） 如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF求证：CF=EA C D B A E F 题目（8） 如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的 一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF. 题目（9） 如图，BN是∠ABC的平分线，点P在BN上， 点D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°， 且∠BDP，∠BEP都不是直角，求证：PD＝PE. 【方法总结】 三角形的全等判定证明是离不开边的，而角平分线的性质恰好是判定线段相等的重要依据，可以给判定三角形全等提供边相等的条件． 类型四：角平分线的性质与全等三角形综合运用 题目（10） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF。 （1）试说明CF＝EB （2）请你判断AE，AF与BE的大小关系， 并说明理由。 【方法总结】 根据角平分线的性质，可以获得两条“垂线段”相等，这是角平分线的性质运用在全等判定的一个重要体现。在角平分线性质的运用的基础上，通过相等线段之间的相互转化进行证明，还需要进一步的加强巩固和练习。最终以求达到熟练掌握角平分线性质的知识要点，能在几何图形的求解中运用自如的目的。 【分析总结】 利用角平分线求长度问题，是角平分线最常见的题型，也是小题中最常考的类型。先要理解角平分线的有关性质内容，然后再结合题目图形找出正确的相等的两边（即是两条垂线段），就可以进行下一步边的求解了。 【分析总结】 前面的题目（5）和题目题目（6）利用角平分线来求角度，主要是把握好“将大角平分成两个小角”这一技巧点。而题目（7）是要求掌握角平分线的作图方法与步骤，最终根据作图确定AM平分∠BAC，再利用角平分线的性质来求解。 【分析总结】 三角形的全等判定证明是离不开