28.2二次函数与一元二次方程 教案 2023—-2024学年人教版（五四制）数学九年级上册

28.2二次函数与一元二次方程 教学目标： 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.通过本节课的学习，知道抛物线与x轴三种的位置关系 3.用图象法求一元二次方程的近似根. 教学过程： 问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24m，围成的矩形区域的面积要大于20m^2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边为(12−x)m.由题意，得：(12−x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得：x^2−12x+20<0，x∈{x|0<x<12}.① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 新知探索 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a,b,c均为常数，a≠0. 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 下面，我们先考察一元二次不等式x^2−12x+20<0与二次函数y=x^2−12x+20之间的关系. 如图，在平面直角坐标系中画出二次函数y=x^2−12x+20的图象，图象与x轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x^2−12x+20=0的两个实数根x_1=2，x_2=10，因此二次函数y=x^2−12x+20与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0). 一般地，对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们把使ax^2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.于是，二次函数y=x^2−12x+20的两个零点是x_1=2，x_2=10. 从图可以看出，二次函数y=x^2−12x+20的两个零x_1=2，x_2=10将x轴分成三段.相应地，当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x^2−12x+20>0；当2<x<10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0，即x^2−12x+20<0.所以，一元二次不等式的解集是{x|2<x<10}. 因为{x|2<x<10}⊆{x|0<x<12}，因此当围成的矩形的一条边长x满足2<x<10时，围成的矩形区域的面积大于20m^2. 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)和ax^2+bx+c<0(a>0)的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 我们知道，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a>0)，设∆=b^2−4ac，它的根按照∆>0，∆=0，∆<0可分为三种情况.相应地，二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)和ax^2+bx+c<0(a>0)的解集. 例析 例1.求不等式x^2−5x+6>0的解集. 解：对于方程x^2−5x+6=0， ∵∆>0，∴它有两个实数根.解得x_1=2，x_2=3. 画出二次函数y=x^2−5x+6的图象， 结合图象得不等式x^2−5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}. 学科网（北京）股份有限公司 $$