专题：双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系 讲义-2024届高三数学一轮复习

专题 双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系 【知识点建构】 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 【注意】：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． (2)当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． (3)时，点的轨迹不存在． (4)在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令，焦点到渐近线的距离为 令，焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 弦长 公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 焦点 三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则(1)， (2)， (3)焦点三角形中一般要用到的关系是 (4)记, ,，则有 (5)设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点． (6)PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点． 焦半径 与 焦点弦 (1)双曲线第二定义：（为离心率） (2)通径：最短焦点弦=． (3)焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. (4)焦半径倾斜角式：(口诀：”同正异负”) (5)双曲线焦点弦长公式：(其中) (6)(其中为通经)(口诀：”同正异负”， (7)过双曲线(a>0，b>0)的右焦点作互相垂直的两条弦、，则； (8)以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交． (9)以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切． (10)准线性质：直线过焦点与双曲线交于两点，直线是与焦点相对应的准线，点是准线与轴的交点，则． 光学性质 由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。 (1)双曲线在点处的切线平分； (2)过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。 斜率之积 (1)双曲线第三定义：;(其中为实轴顶点) (2)双曲线周角定理：直线过原点且交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点，点为双曲线上异于的一点，则(其中均存在且不为0)； (3)双曲线垂径定理：(即中点弦斜率)直线交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点，点为弦的中点，则． (4)若是双曲线不垂直于对称轴的切线，为切点，则． 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线的弦为，过两点作双曲线的切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有： (1)弦绕者定点转动时，则其所对顶点落在直线上． 其中, 当点为左 (右) 焦点时，点位于左 (右) 准线上． (2)直线的斜率成等差数列, 即． (3)当点为焦点时, ． 等角性质 伴侣点 已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分，即，其中称点N与其对应点G为伴侣点． 双曲线 常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 【题型一 双曲线定义及标准方程】 例1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】A 【解析】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为， 所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得. 故选：A． 例2．（多选）（2020·新高考全国Ⅰ（山东卷）和新高考全国Ⅱ（海南卷）·10）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn