第二十一章 一元二次方程章末复习2023-2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程 1、定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 例1方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是______，一次项系数是_____，常数项是______ . 例2下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. ax2+bx+c C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy=0 例3若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）. 2、一元二次方程的解法 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 例4解下列一元二次方程 例5方程4x2-x=-5化成一般形式后，b2-4ac的值是（ ） A. 81 B. 79 C.-79 D. -81 例6方程x2-4mx=2-m(m为常数)根的情况是（ ） A.有两不等实根 B.有两等实根 C.没有实数根 D.无法判断 例7在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若ac＜0，则它的根的情况是_____________. 例8点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且a，b是方程x2+px+6=0的两个实根，则p=_____________. 例9.已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个根，则x12-3x2+20=_________. 3.一元二次方程与实际问题 例10某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样树木的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 例11某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，由题意可列方程为： 例12如图，在宽20m，长30m的矩形地面上建筑两条同样长和同样宽且互相垂直的道路，余下部分作为耕地，耕地面积为551m²，则道路的宽应为多少？ 例13某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，就请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 学科网（北京）股份有限公司 $$