2024届高考数学一轮复习 讲义：等比数列

课题：等比数列 知识点 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：. 注：【若为等比数列，则】 3．等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等差中项 即：或 例：数列是等比数列【中间这项的平方等于两边项的乘积】可类比等差中项 4．通项之间的性质：对任何，在等比数列中，有特别的，若，则；当时，得； 5．等比数列前项和公式：一般地，设等比数列的前n项和是， 其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解. ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解. ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 6．等比数列的性质： （1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示：. （6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列． （7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列． （8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （9）等比数列的单调性：当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 7．等比数列的判定方法： （1）定义法：对任意的，有为等比数列； （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列； （3）通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔是等比数列． （4）前n项和法：（前n项和满足该关系），则数列是等比数列． ( 数列的前n项的和为). 典型例题 例1已知等比数列的公比为2，则值为（ ） A. B. C.2 D.4 例2已知是等比数列，，则公比（ ） A． B．-2 C．2 D． 例3在等比数列中，若公比，则的值为（ ） A．56 B．58 C.63 D.64 例4已知为等比数列的前项，若，且，则( ) A. B. C. D. 例5已知数列满足： ，则的通项公式为( ) A． B． C． D． 例6已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（       ） A． B．2 C． D． 例7已知等比数列满足，，则（       ） A． B． C． D． 例8在等比数列中，若，则（       ） A．6 B． C． D． 例9在等比数列中，，，则的值为（       ） A．48 B．72 C．144 D．192 例10已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于（       ） A．－510 B．400 C．400或－510 D．30或40 例11已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（       ） A．15 B．30 C．45 D．60 例12 《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（       ）（结果精确到0.1．参考数据：，．） A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天 例13已知数列是等比数列，为其前项和，且，则 . 例14在等比数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和 例15数列满足：，．记，求证：数列为等比数列； 例16已知数列满足： ，且.求证：数列是等比数列； 例17已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求通项公式； 举一反三 1．已知是等比数列，且 ，则 （ ） A． B． C