3.1+空间向量基本定理课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1 空间向量基本定理 掌握空间向量基本定理及基、基向量的概念，达到数学 抽象核心素养学业质量水平一的层次。 能利用空间向量基本定理解决向量表示等问题，达到直观想象、逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。 复习回顾 数量积公式 求夹角 求模长 ·=||||cos〈〉 口诀：求模先平方！ 投影数量与投影向量 ||cos〈〉 ||cos〈〉· 环节一 空间向量 基本定理 导入：你还记得平面向量基本定理吗？ 1、空间向量基本定理 平面向量基本定理：如果、是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使= + 思考1：它能推广到空间向量吗？ 思考2：如果、、是平面内的三个不共线的向量，我们能用这三个向量表示空间内任意一个向量吗？ A B D C O 1、空间向量基本定理 A B D C O 空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对于空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z， 使 ＝x+y+z 思考3：能称为一组基的三个空间向量要满足什么特点？ 三个基向量不共面 、、叫做空间向量的一组基, 其中、叫做基向量 任意三个不共面的向量都可以作为基向量 1、空间向量基本定理 成立，只不过x、y、z部分为0 思考4在坐标轴上时，空间向量基本定理还成立吗？ ＝x+y+z B D C O B D C O 1、空间向量基本定理 思考5若将、三个向量特殊化为空间直角坐标系中的x轴、y轴、z轴上的单位向量，任意向量是否能用这三个向量进行表示？ {}叫作空间向量的标准正交基 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得xyz 2、空间向量的正交分解 思考6：在空间向量基本定理中的xy、z和（x,y,z）有什么意义？ x、z是在三个坐标轴上的投影向量 x、y、z是在三个坐标轴上的投影数量 （x,y,z）是的三个坐标 2、空间向量的正交分解 环节二 基底问题 例 1 空间向量a ，b，c不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行? 可以 例 2 已知空间的一组基{i,j,k}, a =i-2j+k,b=-i+3j+2k. (1)写出一个与向量a平行的向量c₁； (2)写出一个与向量a ，b共面的向量c₂； (3)向量a ，b是否共线?是否共面? (4)写出一个向量c₁，使之与向量a ，b构成空间的另一组基. 例 3 已知{}是空间的一个基底，且 , {}能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 例 4 （多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　AC） A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 解析：A选项中，3－1－1＝1，四点共面； C选项中，＝－－，点M为△ABC的重心， ∴点M，A，B，C共面. AC （多选）设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间一组基的向量组有（　B） A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c} BCD 解析：如图，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝，由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面， 同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面. 例 5 环节三 向量的表示问题 例 1 如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用a，b，c表示向量，. 解答： ＝＋＝＋（＋）＝ ＝＋（－）＋ ＝＋＋＝（a＋b＋c）. 连接A'N（图略）. ＝＋＝＋（＋） ＝＋（＋）＝a＋b＋c. 例 2 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 解析：方法一　如图，取PC的中点E，连接NE， 则＝－. 因为＝＝ ＝－＝－＝， 连接AC，则＝－＝＋－， 所以＝－－（＋－）＝－ . 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 例 2 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 方法二　连接AC.＝－＝－ ＝（＋）－（＋） ＝－＋－（－＋＋）＝－－＋. 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面. 例 3 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2，∴＝＝（b＋c）， ∴＝－＝（b＋c）－a ＝（b－a）＋（c－a）＝＋，