3.1.1椭圆及其标准方程（含2课时） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 2 什么是圆锥曲线 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线 (conic sections). 椭圆 抛物线 双曲线 圆 1 3.1.1椭圆及其标准方程 4 探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是怎样的图形？ 探究2：把细绳的两端拉开一段距离，固定在图板的两点，，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆 笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 椭圆的定义： 平面内到两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆. 思考：平面内到两个定点的距离的和等于的点的轨迹是什么图形？ 思考：平面内到两个定点的距离的和小于的点的轨迹是什么图形？ M F1 F2 点轨迹为线段 点轨迹不存在 当 时，轨迹为椭圆； 当 时，轨迹为线段； 当 时，轨迹不存在. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹. (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹. (3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹. 是 不是 是 2.用定义判断动点轨迹是否为椭圆 概念辨析1：椭圆的定义 B 回顾：我们是如何求圆轨迹方程的？ 建系 设点 限制 代换 化简 建立适当的直角坐标系； 设M（x，y）是圆上任意一点； 由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} 用坐标法表示条件P(M)，代换列出方程，化简方程. 类比这个方法，我们开始求取 椭圆的标准方程 探讨:根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系？ 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M 以焦点F1，F2的所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c > 0)，则F1，F2的坐标分别是(c，0)、(c，0)，M与F1和F2的距离之和等于常数2a (2a > 2c). 由椭圆的定义得 O x y M F1 F2 观察下图，你能从中找出表示a，c， 的线段吗？ 由图， ， 令 ，所以焦点在x 轴上椭圆的方程为： 思考：如图，如果焦点在轴上，且的坐标为,的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 M • • x y O （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 由于 得方程 ? (焦点在y轴上) F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 思考：椭圆的两种标准方程有怎样的特征？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程 焦点坐标 图示 a,b,c的关系 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上 a c b 小结：椭圆的定义及标准方程 概念辨析2：椭圆的标准方程 概念辨析2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的椭圆 椭圆 圆 若椭圆焦点位置不确定，可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n) 巩固：求椭圆的标准方程 求a,b 定位 定量 焦点位置 待定系数法求椭圆的标准方程 (法1) 知曲线上一点和焦点 (法2) 点代入方程 a,b,c的关系 求a,b 定位 定量 焦点位置 待定系数法求椭圆的标准方程 (法1) (法2) 未知焦点位置:巧设方